Real hyperelliptic käyrä

Hyperelliptic käyrä on luokka algebraic käyriä. Hyperelliptic käyrät olemassa jokaisen suvun. Yleinen kaava hyperelliptic käyrä yli äärellisen kentän saadaan

jos täyttävät tietyt edellytykset. On olemassa kahdenlaisia ​​hyperelliptic käyrät: todellinen hyperelliptic käyrät ja kuvitteellinen hyperelliptic käyrät, jotka eroavat toisistaan ​​useissa pisteiden äärettömään. Tällä sivulla kerrotaan enemmän todellisia hyperelliptic käyrät, nämä ovat käyrät ottaa kaksi pistettä äärettömään kun kuvitteellinen hyperelliptic käyrät on yksi piste äärettömään.

Määritelmä

Todellinen hyperelliptic käyrä suvun g nurin määritellään yhtälö muodossa missä on määrin ole suurempi kuin g + 1, kun on oltava tutkinnon 2G + 1 tai 2 g + 2. Tämä käyrä on ei ainutlaatuinen käyrä, jossa mitään järkeä algebrallinen sulkeminen täyttää käyrän yhtälön ja molemmat osittaisderivaatta yhtälöitä: ja. Joukko -rational pistettä C saadaan

Missä on joukko pisteitä äärettömään. Oikeasti hyperelliptic käyriä, on kaksi pistettä äärettömyyteen, ja. Jokaisella pisteellä, vastakkaista saadaan; se on toinen kohta, jossa x-koordinaatti, joka myös sijaitsee käyrällä.

Esimerkki

Anna jossa

yli. Koska ja on tutkinto 6, mikä on käyrä suvun g = 2.


Homogeeninen versio käyrän yhtälö on antanut

Se on yksi yhteyspiste, äärettömään antama mutta tämä kohta on yksikössä. Räjähdys on on 2 eri pistettä äärettömään, jota kuvaamaan ja. Näin ollen tämä käyrä on esimerkki todellisen hyperelliptic käyrä.

Yleensä jokainen käyrä antama yhtälö jossa f on jopa degee on kaksi seikkaa äärettömään ja on todellinen hyperelliptic käyrä taas ne missä f on pariton tutkinnon on vain yksi piste räjähdys yli ja ovat siten kuvitteellisia hyperelliptic käyriä. Molemmissa tapauksissa tämä edellyttää, että affiini osa käyrä on nonsingular

Aritmeettinen todellinen hyperelliptic käyrä

Todellisessa hyperelliptic käyrä, lisäys ei enää määritellä kohdista kuten elliptisten käyrien vaan jakoluvut ja Jacobin. Antaa olla hyperelliptic käyrä suvun g yli äärellisen K. jakaja päälle on muodollinen rajallinen summa pistettä. Me kirjoitamme

Aste määritellään

 sanotaan määritellään yli, jos kaikki automorphisms σ yli. Joukko divisors määritelty yli muotojen lisäaine Abelin ryhmä lisäten sääntö

Asetettu kaikkien asteen nolla divisors määritelty yli on alaryhmä.

Otamme esimerkin:

Antaa ja. Jos lisäämme ne sitten. Aste IS ja aste on. Sitten,

Polynomeille, jakaja määritellään

 on napa pisteessä niin on järjestyksessä katoamista klo. Oletetaan ovat polynomeja vuonna; jakaja järkevä toiminta on nimeltään pääasiallinen jakaja ja määritellään. Merkitään ryhmä pääasiallinen jakajat mukaan eli. Jacobin yli määritellään. Kerroin ryhmä kutsutaan myös jakaja luokan ryhmä. Ne elementit, jotka on määritelty yli muodostavat ryhmän. Me ilmi luokan vuonna.

On kaksi kanoninen tapaa edustaa jakaja luokkia todellinen hyperelliptic käyrät, joilla on kaksi pistettä äärettömään. Ensimmäinen on edustaa määrin nolla jakaja tällainen että jos ,, ja jos edustaja on sitten kutsutaan semi vähentää. Jos täyttää lisäehdon sitten edustaja kutsutaan vähennetään. Ilmoittaa, että on sallittua jollekin i: lle. Tästä seuraa, että jokainen aste 0 jakaja luokka sisältää ainutlaatuisen edustajalle

jos on jakaja, joka on keskenään jaottomia sekä

Muut edustus on tasapainossa äärettömään. Olkoon, huomaa, että tämä jakaja on -rational vaikka pistettä ja eivät ole itsenäisesti niin. Kirjoita edustaja luokka, jossa kutsutaan affiini osa ja ei sisällä ja, ja anna. Jos on silloinkin

Jos on pariton sitten

Oletetaan esimerkiksi, affiini osia kahdesta jakajat annettavat

sitten tasapainoinen divisors ovat

Muunnos todellinen hyperelliptic käyrä kuvitteellinen hyperelliptic käyrä

Antaa olla todellinen asteen käyrä yli kentän. Jos on olemassa ramified tärkein tekijä, tutkinnon 1 sitten voimme tehdä birational siirtymistä kuvitteellinen asteen käyrä. Kohta sanotaan ramified jos se on sama kuin oma vastakohta. Se tarkoittaa, että, ts. Jos on haarautunut niin on haarautunut ensisijainen jakaja.

Todellinen hyperelliptic käyrä suvun kanssa ramified -rational äärellinen piste on birationally vastaa kuvitteellinen malli suvun eli ja toiminto kentät ovat yhtäläiset. Täällä:

Esimerkissämme, jossa h on yhtä suuri kuin 0. tahansa, on yhtä suuri kuin 0 ja niin vaatimus P on haarautunut tulee. Korvaamalla ja, saadaan, jos, ts ..

Vuodesta, saamme ja. G = 2, meillä on

Oletetaan esimerkiksi, sitten ja, saadaan

Voit poistaa nimittäjät tämä ilmaus kerrotaan, sitten:

antaa käyrä

 on kuvitteellinen asteen käyrä koska on tutkinto.

(0)
(0)
Seuraava artikkeli Patricia Kraus

Kommentit - 0

Ei kommentteja

Lisääkommentti

smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile smile smile smile smile
smile smile smile smile
Merkkiä jäljellä: 3000
captcha